Một số biện pháp khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học viên khi học toán xác suất

Ngày nay, ngành khoa học này đang chiếm một vị trí to lớn, đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và đa dạng của mọi mặt đời sống con người như khoa học công nghệ, kinh tế, môi trường,... Đặc biệt, trong lĩnh vực quân sự, lý thuyết xác suất được sử dụng để phân tích các quá trình có liên quan đến việc tiến hành tác chiến, việc xác định xác suất trúng, xác suất diệt mục tiêu và hiệu quả bắn...

Thực tiễn giảng dạy xác suất ở nhà trường trong những năm qua cho thấy một số khó khăn trong việc học xác suất của học viên như: khi học các định nghĩa, các quy tắc tính xác suất và xây dựng các công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli... thì học viên đều cảm thấy trừu tượng, khó hiểu; Các bài cần sử dụng đến toán đại số tổ hợp thì nhiều học viên vẫn còn lúng túng trong cách tính số cách lấy ra k phần tử từ tập gồm n phần tử (mặc dù đây là kiến thức đã được học ở lớp 11); Học viên chưa nhận ra được mô hình bài toán, một số học viên khi làm bài tập phần này đều dễ bị nhầm lẫn, rơi vào tình trạng lúng túng khi xem hai cách giải khác nhau trong đó có cách giải sai nhưng không phân biệt được. Do vậy, khi giải xong một bài toán họ thường không mấy tự tin vào đáp số của mình; Khi mới học, học viên thường không biết diễn đạt ý hiểu của mình, trình bày dài dòng, phức tạp, thiếu lôgic; thiếu khả năng trực giác xác suất; chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ xác suất và khó phân biệt được khi nào sử dụng công thức xác suất đầy đủ, khi nào sử dụng công thức Bayes.

Bên cạnh các khó khăn trên học viên còn mắc phải một số sai lầm, nổi lên là: Sai lầm trong việc không quan tâm đến phép thử của bài toán; Xác định sai tên biến cố cần tính xác suất và các biến cố có liên quan; sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc, định lý, công thức; xác định sai mối quan hệ giữa các biến cố; sai lầm trong trình bày, diễn đạt, suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng.

Để khắc phục khó khăn và sửa chữa những sai lầm cho học viên khi giải toán xác suất giảng viên có thể vận dụng một số biện pháp sau:

Biện pháp 1: Giảng viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để học viên được thử thách với những sai lầm; đồng thời phân tích và sửa chữa sai lầm cho học viên

Trong môn Toán có nhiều tình huống dạy học điển hình, nhưng có thể xem rằng giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bởi vậy, bản chất của vấn đề là chúng ta cho người học được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm. Cần phải tập cho người học phát hiện chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân và đề xuất cách giải đúng như G. Pôlya đã nói: "Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình". Hay A.A.Stôliar nhấn mạnh: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học những sai lầm của học sinh". Bởi vì, khi biết bị sai lầm do những lỗi kiến thức cơ bản, học viên mới thực sự thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc bản chất từng tri thức đã lĩnh hội và quan trọng hơn là người học thấy thực sự cần thiết phải tự kiểm tra lại từng bước lập luận trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán. J.Kômenxki khẳng định: "Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa khắc phục sai lầm".

Trên cơ sở phân tích quan điểm của J. Piaget: "Chỉ có sự hoạt động được giáo viên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ". Giảng viên nên để học viên tự làm, tự xoay sở, tự đưa ra giải pháp. Trên cơ sở đó giảng viên phân tích, góp ý rồi kết luận. Qua đó, học viên có thêm được kinh nghiệm giải toán, thấy được đúng sai trong cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề và tránh được những sai lầm. Bởi lẽ, điều gì nhanh nhớ thì cũng chóng quên, kinh nghiệm do mình tự có thì nhớ suốt đời, có thể học được nhiều điều qua các sai lầm.

Giảng viên có thể sử dụng các "bẫy" trong các tình huống để phòng tránh, sửa chữa sai lầm cho học viên. Tuy nhiên, không nên đưa ra những vấn đề quá khó vuột xa trình độ của học viên để đóng vai trò "bẫy". "Bẫy" chỉ nên xoay quanh vùng phát triển gần nhất của kiến thức người học, sử dụng các "bẫy" một cách có mức độ, với việc lạm dụng quá mức các "bẫy" dẫn tới đánh đố chứ không phải phòng tránh và tạo ra một sự tự ti đối với học viên. Sử dụng "bẫy" phải tế nhị không nên lấn át nội dung của bài dạy mà chỉ nên cài đặt một cách khéo léo và ăn khớp với tiến trình của bài dạy. 

Chẳng hạn (...)

Có thể nói rằng khi thấy người học mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ ngay sai lầm đó mà cố gắng dẫn dắt khích lệ họ tự nhận thức được sai lầm của mình.

Biện pháp 2: Khi dạy giảng viên cần nhấn mạnh vào các dấu hiệu đặc trưng và hình thành cho học viên trực giác xác suất

Trong dạy học giảng viên cần nhấn mạnh vào các dấu hiệu đặc trưng và đưa ra các bài toán nhiều câu hỏi có dụng ý so sánh, phân biệt giúp học viên hiểu đúng, hiểu sâu vấn đề từ đó tránh được việc áp dụng không đúng công thức và những nhầm lẫn đáng tiếc. Chẳng hạn:

- Khi dạy định nghĩa cổ điển của xác suất giảng viên cần nhấn mạnh cho học viên các phép thử chỉ có hữu hạn các kết quả đồng khả năng và số trường hợp đồng khả năng của phép thử phụ thuộc vào phép thử.

- Đối với công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes thì phải chọn được nhóm đầy đủ các biến cố có quan hệ với biến cố cần tính xác suất phù hợp với mô hình của bài toán (vì nhóm đầy đủ các biến cố là không duy nhất).

- Đối với công thức Bernoulli điều quan trọng để áp dụng được công thức này là phải nhận ra được dãy phép thử Bernoulli.

Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho học viên là rất cần thiết và có thể rèn luyện được. Để thực hiện được điều đó trong nội dung và phương pháp dạy học cần phải thực hiện trong từng giai đoạn, trong các tình huống điển hình của quá trình dạy học.

Biện pháp 3: Hệ thống hóa các dạng bài thường gặp

Các bài toán xác suất thường xuất phát từ thực tế cuộc sống nên phong phú trong cách mô tả. Do đó, giảng viên cần hệ thống hóa các dạng bài và giải mẫu một số bài. Chẳng hạn như:

- Các bài toán về tính xác suất dùng định nghĩa xác suất cổ điển.

Ở dạng bài toán này học viên cần tính được số kết quả đồng khả năng của phép thử và số kết quả thuận lợi của biến cố rồi tính tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số kết quả đồng khả năng ta được xác suất của biến cố cần tìm.

- Các bài toán vận dụng công thức tính xác suất (công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất; công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli).

Chẳng hạn bài toán vận dụng công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, học viên cần thực hiện các bước: Đặt tên cho biến cố cần tìm xác suất và các biến cố liên quan đến biến cố cần tìm xác suất; xác định mối quan hệ của các biến cố liên quan; Biểu diễn biến cố cần tìm xác suất qua các biến cố liên quan; sau đó áp dụng các công thức cộng, nhân xác suất.

- Các bài toán về đại lượng ngẫu nhiên.

Giảng viên cần nhấn mạnh các đặc điểm bản chất của từng loại bài toán. Điều đó là chìa khóa để học viên nhận biết ra cách giải cũng như một số sai lầm mà họ thường mắc phải. Từ đó, giúp học viên phân biệt được và biết cách giải các bài toán với các mô tả khác nhau nhưng thực chất chúng cùng thuộc một dạng.

Như vậy, việc giảng viên yêu cầu tìm chỗ sai trong lời giải toán đã tạo ra một tình huống nêu vấn đề, bởi vì nói chung không có thuật giải để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học viên cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải. Nó cũng gây cho người học niềm tin có ở khả năng huy động tri thức kỹ năng có của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giải có sai lầm chỉ liên quan đến những tri thức đã học.

Sau khi phát hiện thấy sai lầm, người học đứng trước một nhiệm vụ nhận thức: Tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm. Giảng viên cần có những gợi ý để học viên tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học để có thể giải quyết được vấn đề đó.

Xác suất là nội dung có nhiều ứng dụng thực tế, tuy nhiên nhiều kiến thức khiến học viên dễ mắc sai lầm trong quá trình học tập. Do vậy, trong quá trình giảng dạy nội dung xác suất, giảng viên cần đưa ra các sai lầm mang tính điển hình mà học viên thường mắc phải lồng ghép vào bài học nhằm giúp học viên cách khắc phục sai lầm từ đó nắm vững các kiến thức xác suất; đồng thời, tạo cơ hội cho học viên rèn luyện khả năng nhận biết, hiểu và tránh được những sai lầm khi vận dụng kiến thức xác suất vào giải quyết vấn đề, nhất là các vấn đề liên quan lý thuyết bắn súng. Vì vậy, nếu giảng viên biết cách tổ chức các hoạt động nhận thức, định hướng suy nghĩ cho học viên sẽ giúp họ nhận thấy các sai lầm và cách khắc phục các sai lầm đó thì việc dạy và học phần này trở nên dễ dàng và đạt được hiệu quả cao hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

2. Nguyễn Bá Kim (2010), Phương pháp dạy học đại cương môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.